V roce 1994 se v matematickém světě odehrál zásadní moment, když matematik Andrew Wiles konečně dokázal Fermatovu poslední větu. Tato věta, i když ústředním problémem teorie čísel, zůstala bez řešení více než tři století. Její důkaz nejen fascinoval matematiky, ale stal se natolik významným, že byl dokonce uveden na titulní straně časopisu „The New York Times“.

Než se mu podařilo tohoto úspěchu dosáhnout, musel Wiles nejprve dokázat několik sofistikovaných mezivětních tvrzení, přičemž získával pomoc od matematika Richarda Taylora. Tato mezivětná tvrzení rozšiřovala význam Fermatovy otázky a přispěla k hlubšímu pochopení.

Představte si, že Wilesův důkaz ukázal, že významné třídy rovnic, známé jako „eliptické křivky“, jsou neustále spojeny s zcela jiným matematickým objektem nazývaným „modulární formy“. Wiles a Taylor tím otevřeli dveře mezi různými oblastmi matematiky, odhalujíc, jak se navzájem odrážejí jako deformované zrcadlo. Zkoumání eliptických křivek tak umožňuje přístup k světu modulárních forem a naopak.

Matematicí překvapení

Toto spojení, zvané „modularita“, bylo klíčové nejen pro Wilesův důkaz, ale také mnoho dalších matematiků jej začalo používat k dosažení pokroku v dosud nevyřešených problémech. Modularita se navíc stala základem rozsáhlého souboru hypotéz, známého jako Langlandův program, usilujícího o vytvoření „velké unifikace“ v matematice. Pokud by se ukázalo, že tyto hypotézy jsou pravdivé, spojilo by to eliptické křivky s mnoha dalšími typy rovnic v tomto zrcadlovém světě.

Prokázání vztahu mezi eliptickými křivkami a modulárními formami bylo ale extrémně obtížným úkolem. Mnozí badatelé považovali za nemožné navázat složitější spojení. Přesto tým čtyř matematiků toto očekávání překonal.

V únoru 2025 dokázali rozšířit spojení modularity z eliptických křivek na složitější typ rovnic, známých jako „abelské plochy“. Reseařský tým ve složení Frank Calegari z Chicagské univerzity, George Boxer a Toby Gee z Imperial College London a Vincent Piron z Francouzského národního centra pro vědecký výzkum prokázali, že všechny abelové plochy patřící do určité klíčové třídy jsou vždy spojeny s modulárními formami.

„Jako matematikové víme, že tyto hypotézy jsou pravděpodobně správné, a je vzrušující vidět, že se nám podařilo je dokázat, obzvláště u případů, o kterých jsme si mysleli, že jsou nedosažitelné,“ řekla matematička Ana Kalaiani z Imperial College London.

Cesta za objevem

Matematici nyní cílí na to, aby ukázali modularitu pro všechny abelové plochy, a výkon týmu v této oblasti by mohl mít dalekosáhlé důsledky. Dřívější důkaz modularity pro eliptické křivky otevřel nové cesty k řešení mnoha výzkumných otázek.

Eliptické křivky představují základní typ rovnice používající pouze dva proměnné, x a y. Jejich grafy vypadají na první pohled jako jednoduché křivky, ale jejich řešení mají bohaté a složité vztahy a objevují se v mnoha významných problémech teorie čísel, včetně jednoho z nejtěžších nevyřešených problémů, Burch-Swinnerton-Dyerovy hypotézy, za kterou je vypsána odměna 1 milion dolarů.

Studium eliptických křivek je obtížné, proto matematici zvolili alternativní přístupy. Zde přicházejí na řadu modulární formy, které představují funkce s vysokou symetrií a objevují se v oblasti analýzy, jež se může zdát na první pohled nesouvisející. Díky této symetrii se modulární formy stávají pro matematiky relativně srozumitelnými objekty.

Na začátku se nevěřilo, že by tyto dvě oblasti měly nějaký vztah. Ale důkaz Taylora a Wilesa prokázal, že každá eliptická křivka odpovídá určité modulární formě. Mezi nimi existují společné vlastnosti, ať už se jedná o množinu čísel popisujících řešení eliptických křivek, která se také objevuje v odpovídajících modulárních formách, což umožnilo nové poznatky o eliptických křivkách prostřednictvím modulárních forem.

Matematici se domnívají, že Wilesův a Taylorův důkaz o modularitě je pouze jedním z příkladů universální pravdy. Existují i další třídy matematických objektů, které překračují eliptické křivky a měly by také mít zrcadlové obrazy v symetrických funkcích jako jsou modulární formy. Toto je podstatou Langlandova programu.

Pokud přidáte další proměnnou z, k eliptické křivce, objevíte se v trojrozměrném prostoru, což vytváří abelovou plochu. Podobně jako eliptické křivky, i abelové plochy mají jemnou strukturu, kterou matematici usilují pochopit.

Předpokládalo se, že abelové plochy by měly přirozeně korespondovat s komplexnějšími typy modulárních forem. Nicméně přidání jedné proměnné činí konstruování objektu a hledání řešení velmi obtížným úkolem. Prokázat, že k abelovým plochám patří také modulární formy, se zdálo být takřka nemožné.

Hledání mostu

Čtyři matematici, kteří se věnovali Langlandovu programu, se rozhodli dokázat jeden z takových hypotéz vztahujících se k reálným objektům, které existují, nikoli k abstraktním konceptům. Abelové plochy se pro ně staly reálným objektem, a pokud by mohli prokázat modularitu, mohli by otevřít nové dveře v matematice.

V roce 2016 zahájili společný výzkum, a snažili se napodobit kroky, které Wiles a Taylor provedli v důkazu o eliptických křivkách. Nicméně každá jednotlivá fáze byla u abelových ploch mnohem složitější.

Rozhodli se proto zaměřit na určitý typ „normálním abelových ploch“, které byly relativně snadněji zpracovatelné. Tyto plochy mají sady čísel popisující strukturu jejich řešení. Pokud by mohli ukázat, že lze tyto sady čísel odvodit z modulárních forem, byl by důkaz hotový.

Hlavním problémem bylo, jak konstruovat modulární formy, které by odpovídaly stejné sadě čísel, i když výpočet čísel pro konkrétní abelové plochy byl snadný. Podmínky pro budování modulárních forem byly obtížné. Tým měl možnost ukázat existenci modulárních tvarů odpovídajících specifikovaným abelovým plochám, ale pouze „slabým smyslem“.

Tým objevil široký rozsah modulárních forem, které bylo snadné vypočítat, ale tyto možnosti byly omezeny na situace, kde čísla definovala hodiny s maximem 2. Potřebovali ovšem k abelovým plochám hodiny s maximem 3.

Tým našel několik možností, jak nastavit most mezi těmito dvěma hodinami, ale žádná metoda nebyla dostatečně přísná pro nalezení modulární formy odpovídající abelovým plochám. Naštěstí brzy poté přišla nová matematická zpráva, která přesně splnila jejich potřeby.

Nečekaná pomoc

V roce 2020 zveřejnil teoretik čísel Liu Pan důkaz týkající se modulárních forem. Ačkoliv se na první pohled zdálo, že jeho důkaz nemá s prací čtyř matematiků nic společného, brzy se ukázalo, že metoda, kterou Pan vyvinul, je pozoruhodně hluboce spojena se snažením týmu.

Čtyři matematici se setkávali na Zoomu a aplikovali Panskou metodu během několika let. I přesto se objevily významné překážky. V létě 2023 se tři z nich rozhodli zúčastnit konference v Bonnu, kde se osobně setkali. Jediným problémem bylo, že Calegari měl plánovat cestu do Číny na přednášku. Po špatné zkušenosti na čínském konzulátu v Chicagu se však rozhodl zůstat v Německu a setkat se se svými kolegy.

Gee pak zajistil prostory v Hausdorffově institutu, které byly pro tým méně rušivé. Celý týden intensive studovali Panskou teorii a pracovali dvanáct hodin denně, vycházejíc pouze na kávu. „Vždycky jsme říkali, že se musíme vrátit na důl po kávě,“ vzpomíná Pironi.

Toto intenzivní úsilí se vyplatilo. „I když i po týdnu nastaly menší zvraty, měli jsme pocit, že máme hotovou hlavní strukturu,“ poznamenal Calegari.

Aby tým dovedl své poznatky do finálního důkazu, potřebovali další rok a půl. V únoru 2025 zveřejnili důkaz online, v němž prokázali, že pro každou normální abelovou plochu existuje odpovídající modulární forma.

Nově otevřené dveře tímto dosaženým důkazem by mohly mít sílu srovnatelnou s Wilesovým a Taylorovým úspěchem a potenciálně odhalit tajemství abelových ploch víc než si kdo kdy dokázal představit. Prvním cílem je ale rozšíření těchto výsledků na atypické abelové plochy, což tým nadále usiluje, a spolupracují i s Panem. „Myslím, že za deset let budeme schopni najít téměř všechno,“ uvedl Gee.

Tyto výzkumy by také mohly umožnit matematikům vytvořit nové hypotézy, například podobnou hypotézu Burch-Swinnerton-Dyerové týkající se abelových ploch. „Nyní už máme důvody se domnívat, že to, co dříve nedávalo smysl, může být relevantní pro normální abelové plochy. To předtím zůstávalo nejasné,“ dodal matematik Andrew Sutherland z MIT.

„Mnoho věcí, které jsme dříve mohli jen toužebně přát, se díky tomuto teoremu dostává do dosahu,“ pokračoval, „a to znamená, že situace se už brzy změní.“

Článek byl reprodukován s povolením z Quanta Magazine, který spravuje Simons Foundation, ale je nezávislý na jejich editaci. Tato nadace má za cíl prohlubovat veřejné chápání vědy potvrzením výzkumu v matematice a fyzice i přírodních vědách.

(Původně publikováno v Quanta Magazine, přeloženo Risa Nagao/LIBER, editováno Michiaki Matsushima)